\documentclass[12pt,annales]{profmath}
\parskip=3mm
\begin{document}


\begin{flushright}
{\taille{14}\textbf{Session 2005}}
\end{flushright}

\bigskip
\begin{center}
{\taille{16}\textbf{BACCALAUR\'EAT TECHNOLOGIQUE}}

\bigskip
{\taille{16}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\bigskip

\begin{tabular}{l}
\textbf{Génie Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option A : Productique Mécanique} \\
~~~~~~~~~\textbf{Option F : Microtechniques} \\[2ex]
\textbf{Génie Énergétique} \\[2ex]
\textbf{Génie Civil} \\
\end{tabular} 

\bigskip
{\taille{16}\textbf{MATH\'EMATIQUES}}

\end{center} 

\textbf{Durée : 4 heures}\hfill
\textbf{Coefficient : 4}


\begin{center}

\rule{35mm}{0.4mm}

\bigskip
\textbf{\textit{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}}

\bigskip
\rule{35mm}{0.4mm}

\end{center}


\medskip
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

\medskip
\textit{\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}}

\bigskip
\textit{\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques et une feuille de papier millimétré sont distribués en même temps que le sujet.}}

\bigskip
\centerline{\textbf{La page 5/5 est à rendre avec la copie.}}

\vfill

\textbf{5 MA I1 ME 1}
\hfill
1/5

\newpage

\exer{4 points}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv d'unité graphique 1 cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\qstssq Déterminer sous forme algébrique le nombre complexe $z_1$, vérifiant :
\[
z_1 (1 + \mathrm{i}) + 3 + \mathrm{i} = 0.
\]

\ssq Déterminer sous forme algébrique les nombres complexes $z_2$ et $z_3$ vérifiant le système :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2z_2 +z_3= 5 
\\
z_2 + 3z_3 = -10\mathrm{i}.
\end{array}
\right.
\]

\qst Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives 
$z_A = 3+2\mathrm{i}$, $z_B = -1-4\mathrm{i}$ et $z_C = -2+\mathrm{i}$.

\ssq Placer ces trois points dans le plan complexe.

\ssq Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $CA$.

\ssq En déduire la nature du triangle $ABC$, puis calculer son aire.



\exer{5 points}

Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes.

L'urne $U_1$ contient trois boules rouges notées $R_1$, $R_2$, $R_3$ et deux boules jaunes notées $J_1$ et $J_2$.

L'urne $U_2$ contient quatre boules bleues notées $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ et une boule verte $V$.

Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3 \euro. Il tire ensuite au hasard une boule dans $U_1$, puis une boule dans $U_2$. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

\qst \'A l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles.

\qst Une boule rouge fait gagner 2 \euro. Une boule jaune fait gagner 3 \euro. Une boule bleue fait gagner~1~\euro. La boule verte fait gagner 5 \euro.
\\
\'A chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire $X$ associe le gain finalement réalisé par le joueur.
\\
Ainsi, en tenant compte de la mise de 3 \euro, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de 4 \euro.

\ssq Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.

\ssq Démontrer que $P(X = 5) = \dfrac{2}{25}$.

\ssq Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\ssq Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 \euro ?


\vfill

\textbf{5 MA I1 ME 1}
\hfill
2/5

\newpage

\qstssq Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.

\ssq Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire.
\\
Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité.



\pb{11 points}

\textit{L'objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur
la page annexe à joindre à la copie, puis d'étudier certaines propriétés de cette fonction.}

\medskip
\textbf{Partie A}

\medskip
Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij
d'unité graphique 2 cm, la courbe $\cal C$ d'une fonction $f$ définie sur \R.

La courbe $\cal C$ passe par les points de coordonnées $A\,(0\,;\,4)$ et $B\,(- 1,5\,;\,1)$.

\qst Donner les valeurs de $f (0)$ et de $f (- 1,5)$.

\qst On suppose que pour tout nombre réel $x$, $f(x)$ s'écrit sous la forme suivante :
\\
$f (x) = (ax + b)\e^{-x} + 1$, où $a$ et $b$ sont 2 nombres réels.
\\
Utiliser les résultats de la question 1. pour déterminer la valeur des nombres réels $a$ et $b$.

\medskip
\numqst1
\textbf{Partie B}

Dans toute la suite du problème on étudie la fonction $f$ définie sur \R par $f (x) = (2x + 3)\e^{-x} + 1$.

\qst Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

\qstssq Montrer que pour tout nombre réel $x$ : $f (x) = 2 \dfrac{x}{\e^{x}} + \dfrac{3}{\e^{x}} + 1$.

\ssq Déterminer alors la limite de $f$ en $+\infty$.
\\
En déduire que la courbe $\cal C$ a une asymptote (D) dont on donnera une équation.

\ssq Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbe $\cal C$ au point $B$.

\ssq Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbe $\cal C$ par rapport à la droite (D).

\qst Prouver que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
\[
f '(x) = (-2x - 1)\e^{-x}.
\]

\qst Étudier le signe de $f'(x)$ sur \R, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\qst Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\cal C$ au point $A$.



\vfill

\textbf{5 MA I1 ME 1}
\hfill
3/5

\newpage


\numqst1
\textbf{Partie C}

\qst On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, \textbf{à rendre avec la copie}, on a représenté la courbe~$\cal C$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
\\
Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe $\cal C$ au point $E$ d'abscisse $(-0,5)$.
\\
Tracer sur la feuille annexe la tangente $\Delta$.
\\
Compléter cette figure en représentant l'asymptote (D) et la tangente (T).
\\
Hachurer la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\cal C$ et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0$.

\qst Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x - 5)\e^{-x} + x$ est une primitive de la fonction~$f$ sur \R.

\qst Soit $\cal A$ l'aire en cm$^{2}$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\cal A$, puis en donner une valeur arrondie au centième.

\vfill

\textbf{5 MA I1 ME 1}
\hfill
4/5

\newpage

\underline{\textbf{Annexe du problème à rendre avec la copie}}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.25,-1.5)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=4,griddots=10,gridlabels=0pt,subgriddots=5](0,0)(-2.25,-1.5)(6,5)
\psaxes{->}(0,0)(-2.25,-1.5)(5.9,4.9)
\psplot{-1.75}{6}{2 x mul 3 add x -1 mul 2.718 exch exp mul 1 add}
\rput(5.3,1.4){$\cal C$}
\rput(0.15,4.2){$A$}
\psdots(-1.5,1)
\rput(-1.7,1.1){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}